二次形式の定義


定義

$K$係数の二次形式とは、$n$個の変数$x_1,\dots,x_n$に関する$K$係数の同次二次多項式。
即ち、$A[x]=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}x_i^2+2\sum_{i\verb|<|j}^n a_{ij} x_i x_j $ , $a_{ij} \in K$
但し、$x = \left(
\begin{array}{c}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}
\right)
$

  • $A(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 8xy + 10yz + 12zx$
  • $E[x] = x_1^2 + \dots + x_n^2$

性質

$n$変数の二次形式は、$n$次対称行列と一対一対応する。

  • $A(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 8xy + 10yz + 12zx = {}^t\!vAv$

$v = \left(
\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}
\right)
$,$A = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 4 & 6 \\
4 & 2 & 5 \\
6 & 5 & 3
\end{array} \right)$

  • $E[x] = x_1^2 + \dots + x_n^2 = {}^t\!xEx$

$x = \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{array} \right)
$  , $E$ は単位行列

Ruby(memo1)

Ruby

  • オブジェクト指向・・・操作可能な対象全般(もの・概念等)=オブジェクトがメッセージを伝えることによって処理が進むプログラム
  • インタプリタ言語・・・実行指示後、人が書いたプログラムがコンピュータが理解可能な形式に変換される
  • スクリプト言語・・・コンピュータ上で動作する他のプログラムやライブラリを、台本(スクリプト)通り実行可能

エディタ

機能

  • 色分け(シンタックスハイライト)
  • 入力の補完(コンプリーション)
  • アプリケーションとの連携
  • 自動的な字下げ(オートインデント)
  • マウス利用の回避

種類

  • Meadow
  • xyzzy
  • TeraPad
  • Emacs
  • サクラエディタ
  • Atom
  • NotePad++

コマンド

  • mkdirコマンド・・・ディレクトリを作成

>mkdir C:\************

  • dirコマンド・・・ディレクトリ内のファイルやディレクトリのリストを表示

>dir

日本語コード

  • WindowsかつShift-JIS==> >ruby -ks ファイル名
  • (MacOSまたは UNIX系OS)かつEUC==> >ruby -ke ファイル名
  • UTF-8N==> >ruby -ku ファイル名
  • プログラムの先頭
  1. #! ruby -ks
  2. # -*- coding: Windows-31J -*-

数学のアイデア箱(随時更新)


不等式

  • アルキメデスの原理 
  • 三角不等式
  • $\epsilon-\delta$($\epsilon-n$)論法

集合の不等式 証明

  • 定理等を用いて、そのまま $A \subset B$を示す
  • 定義を使う。$A \subset B$ $\Leftrightarrow$ $\forall x \in A$ $\Rightarrow x \in B$
  • $ A=B$についても同様

その他

  • 図・表をかく
  • 形を見て、都合の良い形にする。(逆から考える事が多い)

全単射の証明 例題


問題 
$\mathbb{N}$ から $\mathbb{N}$ への写像 $f$ を次のように定める。
\[
f(x) = \begin{cases}
3x+1 & (xが 奇数のとき)\\
\frac{x}{2} &(xが偶数のとき)
\end{cases}
\]
写像$f$は全射であるが、単射ではないことを示せ。


(証明)まず、全射であることを示す。
$y$$\in$$\mathbb{N}$に対して、$x = 2y$ とおく。$x$ は偶数であるから、$f$ の定義から、
\[
f(x) = \frac{x}{2} = \frac{2y}{2} = y
\]よって、すべての$y$に対し、ある$x$が存在して、$f(x) = y$ が成り立つから、$f$ は全射

次に、$f$ が単射でないことを示す。
$1,8 \in \mathbb{N}$に対して、$1 \neq 8$ かつ $f(1) = 4 = f(8)$ が成り立つから、$f$ は単射ではない。 ■