近傍・開近傍・近傍系・開近傍系 定義・性質

定義(近傍)

$(X, \mathscr{O})$:位相空間 . $N \subset X$
$N$が$x$の近傍である $\Leftrightarrow$ $x\in N^i$: $x$が$N$の内点である$\Leftrightarrow ^{\exists}U \in \mathscr{O} $ s.t. $x \in U , U \subset N$
特に、$x$を含む開集合は、定義から、すべて$x$の近傍であり、点$x$の開近傍という。
また、点$x$の近傍全体の集合を、点$x$の近傍系といい、$\mathfrak{N} (x)$で表す。
さらに、点$x$の開近傍全体の集合を、点$x$の開近傍系といい、$\mathfrak{N}_o (x)$で表す

事実(近傍系の性質)

$(X, \mathscr{O})$:位相空間 . $\mathfrak{N} (x)$:点$x$の近傍系

(1)$^{\forall}x \subset X$に対して、$X \in \mathfrak{N} (x)$.
${\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$N \in \mathfrak{N} (x) \Rightarrow x \in N$
(2)$N_1,N_2 \in \mathfrak{N} (x) \Rightarrow N_1 \cap N_2 \in \mathfrak{N} (x) $
(3)$N \in \mathfrak{N} (x) ,N \subset M \subset X \Rightarrow M \in \mathfrak{N} (x)$.
(4)$^{\forall} N \in \mathfrak{N} (x)$に対して、$^{\exists} M \in \mathfrak{N} (x)$を選んで、$^{\forall} y \in M$に対して、$N \in\mathfrak{N} (y)$となるようにできる。



閉包 定義・性質

定義(閉包)

$(X, \mathscr{O})$:位相空間 . $A \subset X$
$A$を含むような閉集合全体の共通部分$A^a$を、$A$の閉包という。
即ち,{$F_\lambda : \mathscr {O}$-閉集合| $F_\lambda \subset A, \lambda\in\Lambda $}に対して、$A^a =\cap_{\lambda \in \Lambda} F_\lambda$
閉集合系の性質$[A_3]$から、$A^a : \mathscr{O}$-閉集合だから、$A^a$は$A$を含む最小の閉集合である。
また、$A^a$の点を$A$の触点という。

事実(閉集合の同値条件・閉包の包含関係)


$(X, \mathscr{O})$:位相空間 . $A.B \subset X$
(1)$A :\mathscr{O}$-閉集合$ \Leftrightarrow A^a=A$
(2)$A \subset B \Rightarrow A^a \subset B^a$

定義(閉包作用子)

$(X, \mathscr{O})$:位相空間 . $A \subset X$
$A$に$A^a$を対応させることによって、$\mathfrak{P}(X)$から$\mathfrak{P}(X)$への一つの写像が定まる。この写像を$(X, \mathscr{O})$の閉包作用子という。

事実(閉包作用子)


$(X, \mathscr{O})$:位相空間 の開核作用子は次の性質をもつ。
(1)$\phi^a =\phi$
(2)$A \subset A^a$
(3)$(A \cup B)^a = A^a\cup B^a$
(4)$(A^a)^a = A^a$


開核(内部) 定義・性質

定義(内部・開核)

$(X, \mathscr{O})$:位相空間 . $A \subset X$
$A$に含まれるような開集合全体の和集合$A^i$を、$A$の内部または開核という。
即ち,{$U_\lambda \in \mathscr {O}| U_\lambda \subset A, \lambda\in\Lambda $}に対して、$A^i =\cup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda$
位相の公理$[O_3]$から、$A^i \in \mathscr{O}$だから、$A^i$は$A$に含まれる最大の開集合である。
また、$A^i$の点を$A$の内点という。

性質(内部・開核)

$(X, \mathscr{O})$:位相空間 . $A \subset X$. 開核$A^i $は次の性質をもつ。
(1)$A^i \subset A$
(2)$A^i \in \mathscr{O}$
(3)$O \subset A, O\in \mathscr{O} \Rightarrow O \subset A^i$

性質(開集合の同値条件・開核の包含関係)


$(X, \mathscr{O})$:位相空間 . $A.B \subset X$
(1)$A\in\mathscr{O} \Leftrightarrow A^i=A$
(2)$A \subset B \Rightarrow A^i \subset B^i$

定義(開核作用子)

$(X, \mathscr{O})$:位相空間 . $A \subset X$
$A$に$A^i$を対応させることによって、$\mathfrak{P}(X)$から$\mathfrak{P}(X)$への一つの写像が定まる。この写像を$(X, \mathscr{O})$の開核作用子という。

定理(開核作用子)


$(X, \mathscr{O})$:位相空間 の開核作用子は次の性質をもつ。
(1)$X^i =X$
(2)$A^i \subset A$
(3)$(A \cap B)^i = A^i \cap B^i$
(4)$(A^i)^i = A^i$

位相・開集合・閉集合 定義

定義(位相・開集合)

$X$:空でない集合. $\,$ $\mathfrak{P}(X)$:$X$の冪集合. $\,$ $\mathscr{O}\subset\mathfrak{P}(X)$.
$\mathscr{O}$は、次の条件を満たすとき、集合$X$の位相であるという:


$[O_1] X \in \mathscr{O}, \,\phi \in \mathscr{O}$

$[O_2] O_1, \dots , O_n \in \mathscr{O}$ $\Rightarrow$ $O_1 \cap \dots \cap O_n \in \mathscr{O}$

$[O_3] (O_\lambda| \lambda \in \Lambda)$ : $\mathscr{O}$の元からなる集合系$\Rightarrow$$\cup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda \in \mathscr{O}$

位相$\mathscr{O}$を与えられた集合$X$を位相空間といい、$(X,\mathscr{O})$で表す。
$A \in \mathscr{O}$のとき、$A$を位相空間$(X,\mathscr{O})$の開集合という。
上記の条件$[O_1][O_2][O_3]$をまとめて、位相の公理という。

定義(閉集合)

$(X,\mathscr{O})$:位相空間. $F \subset X$
$F$が位相空間$(X,\mathscr{O})$の閉集合であるとは、$X$の補集合$F^c=X-F$が$(X,\mathscr{O})$の開集合であること、即ち、$F^c \in \mathscr{O}$である。

性質(閉集合)

$(X,\mathscr{O})$:位相空間. $\mathfrak{A}$:$(X,\mathscr{O})$の閉集合の全体
$\mathfrak{A}$は、次の性質を満たす。
$[A_1] X \in \mathfrak{A}, \,\phi \in \mathfrak{A}$

$[A_2] F_1, \dots , F_n \in \mathfrak{A}$ $\Rightarrow$ $F_1 \cup \dots \cup F_n \in \mathfrak{A}$

$[A_3] (F_\lambda| \lambda \in \Lambda)$ : $\mathfrak{A}$の元からなる集合系$\Rightarrow$$\cap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda \in \mathfrak{A}$

(証明)
$[A_1]X^c=X-X=\phi\in\mathscr{O}$ $(\because[O_1]) \therefore X\in\mathfrak{A}$
$\phi^c=X-\phi=X\in\mathscr{O}$ $(\because[O_1]) \therefore \phi\in\mathfrak{A}$
$[A_2](F_1 \cup \dots\cup F_n)^c=F_1^c \cap \cdots \cap F_n^c\in\mathscr{O}$ ($\because$ド・モルガンの法則と仮定と$[O_2]$)
$[A_3](\cap _{\lambda \in \Lambda}F_\lambda)^c=\cup_{\lambda \in \Lambda}F_\lambda^c \in \mathscr{O}$($\because$ド・モルガンの法則と仮定と$[O_3]$)

二次形式の定義


定義

$K$係数の二次形式とは、$n$個の変数$x_1,\dots,x_n$に関する$K$係数の同次二次多項式。
即ち、$A[x]=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}x_i^2+2\sum_{i\verb|<|j}^n a_{ij} x_i x_j $ , $a_{ij} \in K$
但し、$x = \left(
\begin{array}{c}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}
\right)
$

  • $A(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 8xy + 10yz + 12zx$
  • $E[x] = x_1^2 + \dots + x_n^2$

性質

$n$変数の二次形式は、$n$次対称行列と一対一対応する。

  • $A(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 8xy + 10yz + 12zx = {}^t\!vAv$

$v = \left(
\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}
\right)
$,$A = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 4 & 6 \\
4 & 2 & 5 \\
6 & 5 & 3
\end{array} \right)$

  • $E[x] = x_1^2 + \dots + x_n^2 = {}^t\!xEx$

$x = \left( \begin{array}{c}
x_1 \\
\vdots \\
x_n
\end{array} \right)
$  , $E$ は単位行列

Ruby(memo1)

Ruby

  • オブジェクト指向・・・操作可能な対象全般(もの・概念等)=オブジェクトがメッセージを伝えることによって処理が進むプログラム
  • インタプリタ言語・・・実行指示後、人が書いたプログラムがコンピュータが理解可能な形式に変換される
  • スクリプト言語・・・コンピュータ上で動作する他のプログラムやライブラリを、台本(スクリプト)通り実行可能

エディタ

機能

  • 色分け(シンタックスハイライト)
  • 入力の補完(コンプリーション)
  • アプリケーションとの連携
  • 自動的な字下げ(オートインデント)
  • マウス利用の回避

種類

  • Meadow
  • xyzzy
  • TeraPad
  • Emacs
  • サクラエディタ
  • Atom
  • NotePad++

コマンド

  • mkdirコマンド・・・ディレクトリを作成

>mkdir C:\************

  • dirコマンド・・・ディレクトリ内のファイルやディレクトリのリストを表示

>dir

日本語コード

  • WindowsかつShift-JIS==> >ruby -ks ファイル名
  • (MacOSまたは UNIX系OS)かつEUC==> >ruby -ke ファイル名
  • UTF-8N==> >ruby -ku ファイル名
  • プログラムの先頭
  1. #! ruby -ks
  2. # -*- coding: Windows-31J -*-

数学のアイデア箱(随時更新)


不等式

  • アルキメデスの原理 
  • 三角不等式
  • $\epsilon-\delta$($\epsilon-n$)論法

集合の不等式 証明

  • 定理等を用いて、そのまま $A \subset B$を示す
  • 定義を使う。$A \subset B$ $\Leftrightarrow$ $\forall x \in A$ $\Rightarrow x \in B$
  • $ A=B$についても同様

その他

  • 図・表をかく
  • 形を見て、都合の良い形にする。(逆から考える事が多い)