全単射の証明 例題


問題 
$\mathbb{N}$ から $\mathbb{N}$ への写像 $f$ を次のように定める。
\[
f(x) = \begin{cases}
3x+1 & (xが 奇数のとき)\\
\frac{x}{2} &(xが偶数のとき)
\end{cases}
\]
写像$f$は全射であるが、単射ではないことを示せ。


(証明)まず、全射であることを示す。
$y$$\in$$\mathbb{N}$に対して、$x = 2y$ とおく。$x$ は偶数であるから、$f$ の定義から、
\[
f(x) = \frac{x}{2} = \frac{2y}{2} = y
\]よって、すべての$y$に対し、ある$x$が存在して、$f(x) = y$ が成り立つから、$f$ は全射

次に、$f$ が単射でないことを示す。
$1,8 \in \mathbb{N}$に対して、$1 \neq 8$ かつ $f(1) = 4 = f(8)$ が成り立つから、$f$ は単射ではない。 ■

行列式の性質 (その3)

行列式の2つの列(または行)が等しければ、その行列式の値は0であること、即ち、
 |\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|=0
を証明せよ。

(解答)
与えられた行列式の第 i列と第 j (i \lt j)を入れ替えると符号が変わるから、

 \displaystyle |\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|=-|\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|
 \displaystyle |\overrightarrow{a}_1 \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_i \cdots \overrightarrow{a}_n|=0

(ポイント)行列式の交代性を用いた。その証明は以下を参考に。
arc-cosine.hatenablog.com