行列式の積(乗法定理)の証明(2次)

2次正方行列  A ,  B に対して,
 \begin{vmatrix}AB\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\begin{vmatrix}B\end{vmatrix}
を証明せよ。

(解答)
 A=\begin{pmatrix}
                                          a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}
                                       \end{pmatrix}
                                      =
                                        \begin{pmatrix}\overrightarrow{a}_{1}&\overrightarrow{a}_{2}
                                        \end{pmatrix} ,  B=\begin{pmatrix}
                                      b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}
                                    \end{pmatrix}
とすると、
 AB = \left(
    \begin{array}{ccc}
      b_{11}\overrightarrow{a}_{1}+b_{21}\overrightarrow{a}_{2}&b_{12}\overrightarrow{a}_{1}+b_{22}\overrightarrow{a}_{2}
    \end{array}
  \right)
よって,
|AB| = \left|
    \begin{array}{cc}
      b_{11}\overrightarrow{a}_{1}+b_{21}\overrightarrow{a}_{2}&b_{12}\overrightarrow{a}_{1}+b_{22}\overrightarrow{a}_{2}
    \end{array}
   \right|
 =  b_{11} \left|
    \begin{array}{cc}
      \overrightarrow{a}_{1}&b_{12}\overrightarrow{a}_{1}+b_{22}\overrightarrow{a}_{2}
    \end{array}
   \right|  +b_{21} \left|
    \begin{array}{ccc}
      \overrightarrow{a}_{2}&b_{12}\overrightarrow{a}_{1}+b_{22}\overrightarrow{a}_{2}
    \end{array}
   \right| (注1)
 = b_{11}b_{12}\begin{vmatrix}\overrightarrow{a}_1&\overrightarrow{a}_1\end{vmatrix}+ b_{11}b_{22}\begin{vmatrix}\overrightarrow{a}_1&\overrightarrow{a}_2\end{vmatrix}  + b_{21}b_{12}\begin{vmatrix}\overrightarrow{a}_2&\overrightarrow{a}_1\end{vmatrix}+ b_{21}b_{22}\begin{vmatrix}\overrightarrow{a}_2&\overrightarrow{a}_2\end{vmatrix}   (注2)
 = \begin{vmatrix}
                \overrightarrow{a}_1&\overrightarrow{a}_2
              \end{vmatrix}(
                                b_{11}b_{22}-b_{21}b_{12}
                            )    (注3)
 = |A||B|

(注)
1.第1列について、行列式の線形性から。
2.各項の第2列について、行列式の線形性から。
3. \begin{vmatrix}
                \overrightarrow{a}_1&\overrightarrow{a}_1
          \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
                                        \overrightarrow{a}_2&\overrightarrow{a}_2
                                      \end{vmatrix} =0,  \begin{vmatrix}
                                                                      \overrightarrow{a}_2&\overrightarrow{a}_1
                                                                     \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix}
                \overrightarrow{a}_1&\overrightarrow{a}_2
              \end{vmatrix}

私の大学数学の勉強法

どうも、arc-cosineです。

 

今回は私が今、大学数学をどのように勉強しているかを紹介します。

 

大学に入学した当初、私は大学での勉強に期待を膨らませていました。と同時に「授業

 

についていけるだろうか、私に理解できるだろうか」とひどく怯えていました。

 

というのも、入学式などの式典での先生の長いお話の中で、しばしば「大学での勉

 

強は、今まで皆さんがしてきた高校までの勉強(=受験勉強)とは違います。学校や塾

 

で先生から受動的に与えられる勉強ではなく、自分から好奇心のままに様々な教科を能

 

動的に勉強する、すなわち学問なのです!!」みたいなことをさんざん聞かされていた

 

からです。なので、私自身相当気合いがはいってました。講義を担当する先生(主に数

 

学、物理)はおすすめする本として歴史的名著を紹介します。私も気合がはいってまし

 

たので、絶対読破してやる!と意気込んでその本たちに挑戦しました。結論から言いま

 

すと、「こんなもん、読んでられるかーーー!!」、はい、挫折しました。本そのもの

 

が古いので字が潰れて読みにくいし、言葉遣いは古典的だし、内容は分かり難いし。も

 

ちろん、歴史的名著と言われるのはそれなりの理由がある(私はまだその理由が分から

 

ない)と思いますし、いつかは読破したいと思います。ただ、学部1年生が大学数学や

 

物理学を学ぶのに初めて触れる本ではないと思います。(単純に私の能力が低いだけか

 

もしれないが)もっと新しく、分かりやすさを重視した本を選ぶべきでした。

 

また、大学数学について言えることは、理学部数学科以外の理系学部の場合、厳密な証

 

明やその理解は必要なく、それよりも使えることが重要であるということです。そして

 

このことから言えるのは、大学数学にも受験時代に培った技術や自己流の勉強法が使え

 

ということです。以前、私は高校数学の勉強法を紹介しました。

 

arc-cosine.hatenablog.com

 

途中から方針転換して この方法で大学数学に取り組みました。すると前期の成績はAで

 

した。なので結局、私の大学数学の勉強法は、高校数学の勉強法と同じなのです

 

長い前置きすみません。

 

ただ1つ問題があります。それは演習用の参考書は高いということ。(約2000円~

 

3000円)大学は科目数が多いので、各科目につき1冊の参考書を買っていたらバカ

 

にならないです。すぐに金欠になります。かと言って、ネットには受験数学の網羅的な

 

問題集のようなサイトが少ない気がします。よって、このサイトでは主に大学数学の演

 

習問題をアップしていきたいと思います。解答に間違いがあれば、指摘があると幸いで

 

す。

 

よろしくお願いします。

 

でも、積分記号や分数表示などはTeXというソフトがいるらしいですね。アップするには時間がかかりそうです。勉強しなくては。。。

私の高校数学の勉強法

どうも、arc-cosineです。

 

受験期間、私がどのように数学を勉強していたかを紹介します。

ただ、その前に準備として私の悩みである「考える」ことについて書きます。

中学生の時、私は数学の問題に取り組むとき、見た瞬間解法が思い浮かぶ(即ち、以前

解いた事のある問題に類似する)場合は良いのですが、初めて見る、又は複雑な問題の

場合、何をどうして良いか分からず「う~~ん」と悶えながら「考えて」いるつもりで

した。実際、その場で解けなくても朝起きて再び挑戦すると解けることが度々ありまし

た。しかし、高校生になってこの方法は段々と通用しなくなりました。そしてある時、

ふと思ったのです。「う~~ん」と悶えながら「考えて」いる時、私の頭の中はどう

なっているのかと。

 

結論は「思考停止」だったのです。つまり、ただ頭の中で「わからない、どうすればいいのか」と唱えていただけなのです。

 

それからというもの、私は「考える」という行為がすっかり分からなくなってしまいました。月日が流れ、私はある一つの結論に辿り着きました。

 

それは「考える」とは「選ぶ」ことであると。

 

具体例で紹介します。【問】1/cosxを積分しなさい。

 

思考の流れ

  1. 問題を解こうとせず、一つ一つの要素に分解する。ここでは、分数、三角関数積分の3つ。
  2. 各要素に関連する定理やアイデアを問題に関係なく書く。(分数)・・・部分分数分解、割り算の実行etc (三角関数)・・・sin^2x+cos^2x=1,加法定理、三角関数の合成etc (積分)・・・置換積分、部分積分etc
  3. 書き出した物の中から一つ一つ選んで検証する。(解答は省略)

この思考で問題に取り組めば、少なくとも思考停止にならずに試行し続けれるのです。しかし、ここで、選択肢がなければ、思考できないという問題が生じます。逆に、選択肢が多ければ多いほど思考し続けれるのです。ここから、私の高校数学の勉強法は確立したのです。

 

  • 演習用の参考書を買い、分かる分からないに関係なく解答を理解し、そこからアイデアを抽出する。これをひたすら繰り返してアイデアを貯める。ある程度貯まったら、上記の思考で演習する。この時もアイデア抽出を怠らない。

ちなみに私はこの思考で数学の偏差値が75くらいまで上がりました。