極限値の和

(問題)数列{ a_n},{ b_n}がそれぞれ \alpha, \betaに収束するとき、
  \lim_{n \to \infty} (a_n +b_n) \ = \alpha + \beta  
を示せ。

(解答) \mathrm{^{\forall}}\epsilonに対し、 a_n \to \alpha だから、
 \mathrm{^{\exists}}N_1 \in \mathbb{N} s.t. | a_n - \alpha|  <  \frac{\epsilon}{2} (\mathrm{^{\forall}}n \ge N_1)
また、 b_n \to \betaより、
 \mathrm{^{\exists}}N_2 \in \mathbb{N} s.t. | b_n - \beta|  <  \frac{\epsilon}{2} (\mathrm{^{\forall}}n \ge N_2)
よって、 n \ge \max\{N_1,N_2\}ととると、
\begin{align}
  |(a_n + b_n) - (\alpha + \beta)| &= |(a_n - \alpha) + (b_n - \beta)| \\
                                   &\le |a_n - \alpha| + |b_n - \beta|   (三角不等式から)\\
                                   &< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}
                                   =\epsilon     
\end{align}
 \square